Relativitätstheorie (3) – ein neues Bild der Gravitation

Ein Gastbeitrag von Helmut Pfeifer

Raumkrümmung

Raumkrümmung – in Einsteins Allgemeiner Relativitätstheorie ist die Gravitation keine Kraft, sondern eine Eigenschaft der Raumzeit

Im zweiten Teil ging es um Einsteins Spezielle Relativitätstheorie. In diesem dritten und letzten Teil von Helmut Pfeifers Serie geht es um die Allgemeine Relativitätstheorie, die sich im Gegensatz zur speziellen RT auch mit beschleunigten Bewegungen befasst. Was sich wie eine physikalische Spitzfindigkeit anhört, hatte es in sich und forderte Einstein über zehn Jahre lang alles ab. Am Ende stand nicht nur eine Beschreibung beschleunigter Bewegungen, sondern auch eine völlig neue Vorstellung von der Natur der Gravitation. Und sie machte Einstein endgültig berühmt.

Für die Fertigstellung der Allgemeinen Relativitätstheorie benötigte Einstein zehn Jahre. In einem Brief an einen Freund schrieb er, dass die Spezielle Relativitätstheorie im Vergleich zur Allgemeinen ein Kinderspiel gewesen sei.

Ausgangspunkt war die Frage, warum nur Ruhe und gleichförmige Bewegung relativ sein sollten. Könnten nicht auch gleichförmige Beschleunigungen, ja alle Bewegungen schlechthin relativ sein? Das scheint in der Natur nicht der Fall zu sein. Als Flugpassagiere spüren wir sehr wohl die Turbulenzen und auch bei einer Achterbahnfahrt die Beschleunigung des Wagens, in dem wir sitzen. In einem Bus oder in der Bahn können wir bei gleichförmiger Bewegung ruhig stehen oder gehen, aber wenn es zu einer ruckartigen Beschleunigung oder Abbremsung kommt, müssen wir uns festhalten.

Einstein war trotzdem überzeugt, dass, „Die Gesetze der Physik so beschaffen sein müssten, dass sie in Bezug auf beliebig bewegte Bezugssysteme gelten.“ Die Tatsachen schienen dem allgemeinen Relativitätsprinzip Einsteins zu widersprechen, doch er hielt hartnäckig an diesem Prinzip fest. Er hatte schon im Rahmen seiner Speziellen Relativitätstheorie versucht, die Gravitation zu analysieren respektive zu beschreiben. Seine erste Annahme war gewesen, dass sich das Gravitationsfeld mit Lichtgeschwindigkeit fortpflanzt und nicht instantan über Entfernungen hinweg wirkt.

Einstein beschäftigte sich zunächst mit der Fallbeschleunigung eines frei fallenden Körpers und somit mit den Fallgesetzen von Galilei. Die unter anderem darin aufgestellte Behauptung, dass die Fallbeschleunigung aller Körper gleich sei, führte Einstein zur Formulierung des Satzes von der Gleichheit der schweren und trägen Massen. Es führte ihn zur Vermutung, dass in diesem Gesetz der Schlüssel für ein tieferes Verständnis von Trägheit und Gravitation liegen müsse. Dass sich nämlich im Fallgesetz von Galilei ein bemerkenswertes Prinzip verbirgt, hat erst Einstein erkannt und zur Anwendung gebracht.

 Gedankenexperimente in Himmels- und Erdlaboren

Wieder einmal benutzte Einstein ein Gedankenexperiment. Er stellte sich ein „Himmelslabor“ und ein „Erdlabors“ vor, in denen identische Versuche bezüglich einer Fallbeschleunigung durchgeführt werden. Das so genannte Himmelslabor ist von allen anderen Objekten so weit entfernt, dass jene keinerlei Anziehungskraft auf das Labor ausüben können. Eine weitere Annahme war, dass eine „höhere“ Macht (etwa ein Engel) das Laboratorium mit einer Beschleunigung in Bewegung setzt, welcher der eines fallenden Körpers auf unserem Planeten entspricht. Wenn man die physikalischen Vorgänge des freien Falles in beiden Laboratorien untersucht und vergleicht, dann ergibt sich kein Unterschied. Jedes mechanische Experiment läuft gleich ab.

Diese Äquivalenz zu erkennen, war aber eine herausragende Leistung Einsteins. Er blieb aber nicht dabei, sondern erweiterte diese partielle Äquivalenz zu einer totalen und nannte es „Äquivalenzprinzip“.

Aus einer anderen Perspektive betrachtet, ergibt dies die Erkenntnis, dass die Gravitation im freien Fall aufgehoben ist, wie folgendes Beispiel zeigt.

Im Aufzug eines Hochhauses reißen die Kabel und der Aufzug saust im freien Fall in die Tiefe. Alle Gegenstände, die man loslässt, bewegen sich mit der gleichen Geschwindigkeit wie der Aufzug und würden daher als schwerelos im Raum schwebend empfunden werden. Auch der Beobachter selbst würde sich schwerelos im Raum ruhend und ohne Einwirkung der Gravitation fühlen.

Durch den Vergleich mit einem elektrischen Feld, das ein Magnet in seiner Umgebung erzeugt, kam Einstein zu dem Schluss, dass die Gravitation in lokalen Bereichen nur als relative Größe existiert, während man sie im Großen, also global gesehen, nicht ohne weiteres als relativ betrachten könne.

Die Grundsätzlichkeit besteht darin, dass das Äquivalenzprinzip gleichförmige Beschleunigungen und homogene Gravitationsfelder verknüpft. Einstein erkannte jedoch, dass diese Äquivalenz nur bei hinreichend kleinen, nicht rotierenden Laboratorien gegeben ist, nicht jedoch bei Himmelskörpern generell in Erscheinung tritt, was an deren inhomogenen Gravitationsfeldern liegt. Man denke nur an die in entgegengesetzter Richtung wirkender Gravitationsfelder der Erd- Pole

Das Äquivalenzprinzip erwies sich als ein wertvoller, theoretischer Ansatz und war außerdem ein Hinweis darauf, dass eine annehmbare Gravitationstheorie den Rahmen der Speziellen Relativitätstheorie sprengen würde. Die Beschleunigung, vorher noch als eine absolute Größe beschrieben, wird durch das Äquivalenzprinzip zu einer relativen. Für Einstein war dies der Hinweis zu einem Weg, auf dem er zu einer allgemeinen Theorie gelangen könnte, welche die Gravitation einbezog. Zunächst konnte er mit Hilfe des Äquivalenzprinzips einige Eigenschaften der Gravitation ableiten, indem er sich Gedankenexperimente im „Himmelslabor“ überlegte und sie dann aus der Sicht des „Erdlabors“ interpretierte.

Und immer wieder Gedankenexperimente

In einem weiteren Gedankenexperiment geht es um Gewichte, die in beiden Labors an einer Spiralfeder hängen. Das Himmelslabor ist beschleunigt und unterliegt keinem Einfluss einer Gravitation. Das Erd-Labor ist unbeschleunigt, aber hier herrschen die Gesetze der Gravitation. Im ersteren Fall dehnt sich die Feder nur allein aufgrund der Trägheit aus, welche die angehängte Masse der Beschleunigung des Labors entgegensetzt. Auf Erden bemisst sich die Federdehnung allein nach der Gewichtskraft der angehängten Masse. Nach dem Äquivalenzprinzip müssen beide Federn sich um denselben Betrag verlängern und somit zum selben Ergebnis führen. In anderen Worten: Schwere Masse ist gleich träge Masse. Dieses Ergebnis wird auch bestätigt, wenn wir uns vorstellen, dass in beiden Labors die angehängten Massen gleich viel Energie absorbieren. Gemäß E=mc2 wachsen dann beide Massen um den gleichen Betrag und die Federn dehnen sich dem höheren Gewicht entsprechend wiederum gleich weit aus. Damit werden träge und schwere Masse anhand ihrer Energieäquivalenz vereinheitlicht.

Auch im nächsten Gedankenexperiment spielt in den beiden beschriebenen Laboratorien. In diesem Fall geht es allerdings um den Vergleich von zwei exakt gleich gehenden Uhren, welche jeweils am Boden und an der Decke angebracht worden sind. Um den Vergleich sichtbar zu machen, stelle man sich vor, dass die Uhren bei jedem „Tick“ einen kurzen Lichtimpuls aussenden. Was glaubt ein Beobachter im Himmelslabor wahrzunehmen, wenn er einmal vom Boden aus und einmal von der Decke aus den Lichtimpuls verfolgt? Da das Himmellabor nach oben beschleunigt wird, bewegt sich die Decke immer schneller vor dem heraufkommenden Lichtimpuls her, sodass die nachfolgenden Lichtimpulse immer länger brauchen, um die Decke zu erreichen. Auch die Laufzeit des Lichts muss berücksichtigt werden. Die „Tick“-Pulse treffen an der Decke also in einer langsameren zeitlichen Abfolge ein, als es der eigentlichen „Tick“-Frequenz der Uhren entspricht. Für den Beobachter an der Decke scheint die Uhr am Boden gegenüber seiner Uhr nachzugehen, obwohl erwiesenermaßen beide Uhren gleich schnell gehen. Umgekehrt erscheinen dem Beobachter am Boden die „Tick“-Signale der Deckenuhr schneller aufeinander zu folgen als die seiner Uhr am Boden, da er sich auf die herabkommenden Signale zubewegt.

Was geschieht im Erd-Labor bei dem gleichen Experiment? Aufgrund des Äquivalenzprinzips erwarten wir hier das gleiche Ergebnis wie im Himmelslabor: Auch hier vermeint der Beobachter an der Decke die Boden Uhr langsamer gehen zu sehen. Nur hier gibt es keine Beschleunigung, die dieses Resultat erklären könnte. Einstein schloss daraus: Eine Uhr, die der Erde näher ist als eine andere gleichartige Uhr, scheint in gleicher Weise nachzugehen.

Nun ging Einstein daran, sich die Uhren als leuchtende Atome vorzustellen, wobei die Frequenz des abgestrahlten Lichts dem Ticken einer mechanischen Uhr entsprach. Nun sollte das Licht, von den Atomen am Boden des Labors abgestrahlt, mit einer niedrigeren Frequenz an der Decke eintreffen, als sie von dortigen Atomen desselben Elements emittiert werden.

Diesen Umstand folgend sagte Einstein in voraus, dass die Lichtfrequenzen von Atomen an der Oberfläche der Sonne dem Beobachter auf der Erde niedriger erscheinen als die Frequenz gleicher Atome, die sich weit weg von der Sonne befinden. Eine niedere Frequenz bedeutet eine Verschiebung der Lichtfarbe zum roten Ende des Spektrums. Dieses Ergebnis erhält man, wenn man sie mit den auf der Erde gemessenen atomaren Spektren vergleicht. Dieser Effekt wird als Gravitations-Rotverschiebung oder relativistische Rotverschiebung bezeichnet. Dieses Ergebnis erhielt Einstein bereits, als er die Rotverschiebung anhand des Äquivalenzprinzips berechnete.

Der experimentelle Nachweis wurde zwar durch die Turbulenzen an der Sonnenoberfläche erschwert, aber später in den sechziger Jahren bestätigten genaue Messungen, dass die relativistische Rotverschiebung auch damit nachweisbar war, obwohl die experimentellen Werte astronomisch klein sind.

Die Gravitations-Rotverschiebung ist nicht etwa darauf zurückzuführen, dass die Uhren selbst langsamer gingen, sondern sie beruhen darauf, dass die Lichtsignale auf ihrem Weg durch Raum und Zeit von der Gravitation verändert werden. Das heißt, die

Gravitation lenkt Licht ab – sie krümmt Lichtstrahlen. Wenn sich aber der Lichtstrahl krümmt, bedeutet das, dass sich die zugehörigen Wellenfronten drehen. Dies zwingt wieder zur Annahme, dass dies nur möglich ist, wenn die Lichtgeschwindigkeit auf der oberen Seite des Lichtstrahls höher ist als auf der Unterseite. Man denke nur an eine Soldatenreihe, die nur dann geordnet nach links oder rechts abbiegen kann, wenn die Soldaten auf der Innenseite der Kurve langsamer marschieren als die auf der Außenseite.

Um die Lichtablenkung zu erklären, musste man also annehmen, dass die Lichtgeschwindigkeit mit zunehmender Höhe über dem Boden des Laboratoriums größer wird.

Einstein passte diese Entdeckung nicht gerade in sein Konzept. Als Ausweg stellte er sich vor, dass die Lichtgeschwindigkeit die Gravitation gleichsam repräsentiere indem sie die Rolle eines Gravitationspotentials einnehme: Jedem Punkt des Raumes wäre ein Zahlenwert für die jeweilige Lichtgeschwindigkeit zugeordnet, wodurch ein „Feld“ definiert würde, das überall die Stärke der Gravitation spezifiziert.

Dieser Gedankengang führte zwar letztlich in eine Sackgasse, aber er war doch Anstoß für Einstein, über die Grenzen der Speziellen Relativitätstheorie hinauszugehen. Einstein stand nun die schwierigste Phase in seinen Arbeiten an der Allgemeinen Relativitätstheorie bevor.

Wie elementare Fragen der Geometrie die Physik beeinflussten

An dieser Stelle ist ein kleiner Exkurs notwendig, der sich mit der Entwicklung der Geometrie im Allgemeinen beschäftigt. Um das Jahr 300 vor Christus formulierte Euklid verschiedene geometrische Gesetzmäßigkeiten, sogenannte Axiome, die man schlechterdings kaum anzweifeln konnte. Zum Beispiel sagte er, dass die kürzeste Entfernung zwischen zwei Punkten eine gerade Strecke sei. Lediglich das fünfte seiner Axiome, das „Paralellenaxiom“ war umstritten und Gegenstand langwieriger Analysen. Erst in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts konnten mehrere Mathematiker nachweisen, dass sich auch mit anderen „Paralellenaxiomen“ eine widerspruchsfreie Geometrie aufbauen lässt. Diese Arbeiten wiesen insofern neue Wege, als sie zeigten, dass die euklidische Geometrie nicht „sakrosankt“ ist. Beispielsweise entwickelte der deutsche Mathematiker Bernhard Riemann eine nichteuklidische Geometrie in der überhaupt keine Parallelen existieren.

Diese Theorie lässt sich am besten durch die Verhältnisse auf gekrümmten Oberflächen veranschaulichen und kann daher als die Geometrie der Kugeloberfläche angesehen werden. Die Rolle der Geraden übernehmen Großkreise, die man dadurch erhält, dass man die Kugelschale so aufschneidet, dass der Kugelmittelpunkt in der Schnittebene liegt. Segmente solcher Großkreise sind die kürzesten und zugleich „geradesten“ Verbindungen zwischen zwei Punkten der Oberfläche. Da jeder Großkreis einer Kugel jeden anderen Großkreis schneidet, können in dieser Geometrie offensichtlich keine parallelen „Geraden“ existieren.

Bei Dreiecken beträgt in der nichteuklidischen Geometrie die Winkelsumme nicht 180 Grad. Es handelt sich um so genannte sphärische Dreiecke, bei denen auch der Satz des Pythagoras nicht gilt.

Der Mathematiker Karl Friedrich Gauß erkannte, dass die Krümmung einer Kugeloberfläche ein inneres Strukturmerkmal dieser Fläche darstellt. Und Riemann ließ sich von den Gaußschen Überlegungen inspirieren, etwas Analoges für den Raum zu versuchen. Nach einigen Überlegungen und diesbezüglicher Berechnungen dehnte er den Krümmungsbegriff von zwei- und dreidimensionalen Räumen auf Räume beliebiger Dimension aus. Solche Räume werden heute als „Riemannsche Räume“ bezeichnet und die dort gültige Geometrie wird Riemannsche Geometrie genannt.

Zu Einstein zurückkehrend, bestand nun für ihn die große Herausforderung, ein Prinzip zu finden, bei dem die Gesetze der Physik in einer Form beschrieben werden, die in allen Koordinatensystemen der vierdimensionalen Raum-Zeit-Welt gleichbleibt. Diese Forderung erwies sich als ein enormes mathematisches Problem, das Einstein selbst überfordert hätte, da er Physiker und nicht Mathematiker war.

Die Tensoren kommen – Einstein holt sich mathematische Unterstützung

Zum Glück gab es Mathematiker zu dieser Zeit, die hier hilfreich einspringen konnten, wobei ein früherer Kommilitone Einsteins, Marcel Grossmann sich gerade auf dem Gebiet der nichteuklidischen Geometrie und anderen für Einstein wichtigen mathematischen Fragen spezialisiert hatte. Zwischen den beiden begann sich eine gute Zusammenarbeit zu entwickeln, bei der Grossmann die „Mathematik“ und Einstein die „Physik“ beisteuerte.

Das geeignete mathematische Instrumentarium stellte für Einstein die so genannte Tensorrechnung dar. Den Begriff „Tensor“ kann man durch die einfache Beschreibung eines „Vektors“ verständlich machen, weil der Tensor sich im Wesentlichen nur durch die Anzahl der Komponenten vom Vektor unterscheidet. Sowohl Tensoren als auch Vektoren repräsentieren physikalische Größen in unterschiedlichen Koordinatensystemen.

Einfach zu erklären ist der Vektor in einem zweidimensionalen Koordinatensystem mit den Achsen x und y. Ein Vektor ist eine gerichtete Größe, definiert durch eine Länge und eine Richtung. Nehmen wir als Beispiel den Vektor, der die Verschiebung von Punkt P zum Punkt Q repräsentiert. Die Koordinaten von Punkt P seien (1/2) und die von Q (4/6). In diesem Fall sind die Koordinatendifferenzen (4 – 1/ 6 -2) die Komponenten des Verbindungsvektors PQ. Das heißt, die Komponenten sind x = 3 und y = 4. Sie entsprechen wirklichen Längen.

Wenn nun das Koordinatensystem gedreht wird, ohne dass sich die Punkte P und Q mitdrehen, so erhalten die Koordinaten dieser Punkte nicht aber deren Differenzen neue Werte. Der Verbindungsvektor bleibt also gleich: Er ist unabhängig vom eingeführten Koordinatensystem. Deshalb kann ein Vektor eine physikalische Größe symbolisieren, die objektiv da ist. Entsprechend besitzen Vektoren im zweidimensionalen Raum zwei Komponenten, im dreidimensionalen Raum drei Komponenten, im vierdimensionalen Raum vier und so weiter. In diesem Fall spricht man bereits von einem Tensor, wie vorhin schon gesagt.

Eine erste praktische Anwendung ist die mathematische Beschreibung des elektromagnetischen Feldes mit seinen elektrischen und seinen magnetischen Feldkomponenten in der vierdimensionalen Raum-Zeit-Welt.

Pythagoräische Zahlenmystik

Eine besondere Anwendung findet der so genannte metrische Tensor bei der Beschreibung der inneren Geometrie von gekrümmten Flächen, die durch ein Netz aus gekrümmten Linien repräsentiert werden, wobei jede Linie mit einer Zahl gekennzeichnet ist. Hier gibt es ja kein Koordinatennetz, bei dem die Koordinaten als direktes Abstandsmaß dienen könnte. Mit Hilfe des metrischen Tensors jedoch können genügend kleine Koordinatendifferenzen bestimmt werden, welche die Berechnung von Längenabständen zwischen zwei Punkten ermöglichen.

Der metrische Tensor besitzt in einer zweidimensionalen Geometrie drei (1+2=3) voneinander unabhängige Komponenten, in dreidimensionalen Räumen sind es sechs Komponenten (1+2+3=6) und im vierdimensionalen Raum (z.B. Raum-Zeit-Welt) zehn

Tetraktys

Der Tetraktys (hier auf einem Plattencover) und damit die Zahl 10 spielte bereits bei den Pythagoräern eine wichtige Rolle bei der Erklärung des Universums

voneinander unabhängige Komponenten (1+2+3+4= 10). Diese zehn Komponenten lassen sich als Punkte in einem Dreieck darstellen, wie es in der Antike bereits die Pythagoräer unter dem Bezeichnung Tetraktys bei ihrer Zahlenmystik verwendeten.

Der metrische Tensor wird mit einer Reihe komplizierter mathematischer Formeln und Gleichungen beschrieben. Begnügen wir uns mit der Feststellung, dass der metrische Tensor der vierdimensionalen Raum-Zeit-Welt im Wesentlichen nur zehn Komponenten hat, die wirklich voneinander unabhängig sind. Sie beschreiben die intrinsische Geometrie der Raum-Zeit-Welt. Ohne Zuhilfenahme zusätzlicher Dimensionen, können mit diesen zehn Tensorkomponenten die inneren Krümmungseigenschaften der Raum- Zeit- Welt berechnet werden.

Betrachten wir nun wie Einstein den metrischen Tensor der Raum-Zeit anwendet. Ausgehend von der Überlegung, dass die Weltlinie frei beweglicher Teilchen im so genannten Minkowski- Raum eine Gerade ist, die immer als kürzeste Verbindung aufzufassen ist, stellte er sich die Frage, wie eine solche freie Bewegung relativ zum Himmelslabor aussehen würde und wie man sie mathematisch beschreiben könnte. Dabei entdeckte er, dass sich die Komponenten des metrischen Tensors immer dann für ein bestimmtes Koordinatensystem veränderten, wenn dieses Koordinatensystem beschleunigt wird. Da wegen des Äquivalenzprinzips die Gravitation im Erdlabor genau denselben Einfluss auf die dortigen Komponenten des metrischen Tensors ausüben muss, zog Einstein die Schlussfolgerung, dass die Gravitation durch den metrischen Tensor der Raum- Zeit beschrieben werden müsste.

In der Newtonschen Theorie wurde die Gravitation mit einem einzigen Potentialfeld beschrieben. Mit dem metrischen Tensor und seinen zehn unabhängigen Komponenten standen plötzlich zehn Gravitationspotentiale zur Verfügung. Da der metrische Tensor ohnehin immer die vorliegende geometrische Struktur beschreibt, erhielt er bei Einstein zusätzlich zu seiner geometrischen Bedeutung die Rolle des Gravitationspotentials. Die Gravitation sollte also keine Kraft mehr sein, sondern etwas Geometrisches. Weil nun Einstein die Gravitation mit Hilfe des metrischen Tensors darstellen konnte, ist es kein Wunder, dass die Gravitation in der Allgemeinen Relativitätstheorie als eine Krümmung der Raum-Zeit-Welt erscheint.

Noch war man nicht am Ziel. Einstein und Grossmann versuchten nun zehn Tensor-Feldgleichungen zu finden, die im Prinzip die zehn Gravitationspotentiale und damit die Raum-Zeit-Krümmung bestimmen sollten. Diese Potentiale würden dann die Gravitation für bestimmte Konfigurationen von Gravitationsquellen- also beispielsweise der Sonne und ihrer Planeten- eindeutig beschreiben. Die Annahme war, dass zu jeder Konfiguration ein eindeutig bestimmtes Gravitationsfeld gehören würde.

Es stellte sich aber heraus, dass das mathematische Ergebnis aus physikalischen Gründen nicht stimmen konnte, weil als Lösung der Feldgleichungen bei ein und derselben Konfiguration von Himmelskörpern sich mehr als ein Gravitationsfeld ergeben hätte. Trotz großer Bemühungen konnte kein Fortschritt erzielt werden, man schien in eine Sackgasse geraten zu sein.

Neuer Ort, altes Problem – Einstein geht nach Berlin

1914 ging Einstein von Zürich nach Berlin und die Zusammenarbeit mit Grossmann hatte ein Ende. Einstein beschäftigte sich nun allein weiter mit dem Problem. 1915 fand Einstein heraus, dass ein Fehler in seinem Beweis über die Lösung der Tensorgleichungen steckte. Er beschäftigte sich nach längerer Pause intensiv mit den zehn Feldgleichungen, die er für den metrischen Tensor und seinen Änderungen in Raum und Zeit aufstellen musste. Er formulierte sie nach dem Vorbild, die in der Newtonschen Theorie das Gravitationspotenzial und seine Änderungen beschreibt. Diese Änderungen einer Größe, abhängig von einer anderen Größe, wird durch die Rechenoperation mit der Bezeichnung „Differentiation“ beschrieben und ergibt eine „Ableitung“. Im konkreten Fall ergibt die Differentiation von Tensoren Ableitungen, die meist selbst keine Tensoren mehr sind, weil sie sich bei einer Transformation des Koordinatensystems mitverändern. Bei den Ableitungen treten aber „wahre“ Änderungsraten des Tensors und „unechte“ Änderungsraten auf, die mit Hilfe des ursprünglichen Tensors rechnerisch separiert werden können. Dadurch erhält man schlussendlich die „wahren“ Änderungsraten beliebiger Tensoren in einem gegebenen Bezugssystem. Die Ableitungen, welche die unverfälschten Änderungsraten von Tensoren repräsentieren, werden „kovariant“ genannt. In den Feldgleichungen sollten die Änderungsraten des metrischen Tensors demnach durch seine kovariante Ableitung repräsentiert werden. Aber diese ergab stets den Wert Null. Befand man sich also wieder in einer Sackgasse?

Aus dieser half eine Entdeckung des bekannte Mathematikers Carl Friedrich Gauss. Er hatte lange bevor die Tensoren bekannt waren, bei seinen Studien bezüglich der Krümmung von Flächen einen mathematischen Ausdruck gefunden, mit dem sich die Krümmung einer Fläche an jedem beliebigen Punkt berechnen ließ. Diesen mathematischen Ausdruck identifizierte man später mit einem Tensor, der vollständig aus dem metrischen Tensor und dessen gewöhnlicher Ableitung aufgebaut war. Riemann und Erwin Christoffel definierten beide fast gleichzeitig diesen Ausdruck als „Krümmungstensor“.

Der entscheidende Durchbruch war geschafft. Der Krümmungstensor eines vierdimensionalen Raums enthält 20 voneinander unabhängige Komponenten. Daraus lässt sich ein Tensor von zehn Komponenten entwickeln und die zehn Feldgleichungen sind eindeutig bestimmt, wenn man durch geeignete physikalische und mathematische Randbedingungen dafür sorgt, dass die physikalischen Erhaltungssätze für Energie und Impuls gelten und Lösungen existieren.

Die Entscheidung Einsteins für die Tensorgleichungen, in denen die Gravitation allein durch den metrischen Tensor repräsentiert wird, hatte sich letzten Endes als richtig erwiesen. Die Feldgleichungen folgten mit der logischen Notwendigkeit aus diesem Ansatz.

Es ist vollbracht: Ein neues Bild von der Gravitation

Im Unterschied zur Speziellen Relativitätstheorie, in der es keine Gravitation gibt und die Raum-Zeit flach ist, beschreibt die Allgemeine Relativitätstheorie die Gravitation anhand einer gekrümmten Raum-Zeit. Die Krümmung der Raum-Zeit repräsentiert die Gravitation, wobei die gravitationsbedingten Bewegungen der Körper auf den Raum-Zeit-Krümmungen für die jeweiligen Massenkonfigurationen beruhen.

Ebenfalls im Gegensatz zur speziellen Relativitätstheorie gibt es bei der Allgemeinen infolge der Raum-Zeit-Krümmung keine geraden Weltlinien. Allerdings gibt es Linien, die „gerader“ sind als andere. Die geradesten Weltlinien sind die kürzesten und tragen die Bezeichnung „Geodäten“. Auch die Ablenkung von Lichtstrahlen im Gravitationsfeld lässt sich durch die Raum-Zeit-Krümmung erklären.

So wird das Gravitationsfeld der Sonne oder anderer schwerer Körper durch die Krümmung der vierdimensionalen Raum-Zeit beschrieben. Mit anderen Worten, die Gravitation ist nicht Ursache der Krümmung: Sie ist die Krümmung. Diese Krümmung, die mit der Gravitation der Sonne verbunden ist, konnte Einstein als praktische Anwendung von Tensor Feldgleichungen berechnen.

Die Einstein Entdeckung eines Zusammenhangs zwischen Raumgeometrie und Massenkonzentration hat uns eine völlig neue Theorie zum Verständnis des Wesens der Schwerkraft beschert: Planeten laufen deshalb auf den bekannten Bahnen um riesige Sonnen, weil diese mit ihrer Masse die Geometrie des sie umgebenden Raums so deformieren, dass diese Umlaufbahnen zu den kürzesten Wegen werden, denen ein Körper mit entsprechend geringerer Masse in einem auf diese Weise „gekrümmten“ Raum folgen kann. Die planetarische Umlaufbahn entspricht einer so genannten „geodätischen“ Linie, also der Linie, der ein bewegter Körper folgt, wenn er nicht durch äußeren Einfluss von seinem Trägheitskurs abgelenkt wird.

Die Allgemeine RT wird experimentell bestätigt – und Einstein wird berühmt

Allerdings gibt es eine deutliche Abweichung von dieser Regel, nämlich beim Planeten Merkur. Es war aber schon bekannt, dass Merkur sich unter anderem wegen der Anziehung durch die anderen Planeten nicht auf einer geschlossenen, sondern auf einer langsam rotierenden Ellipse bewegt. Sie wird auch als „Periheldrehung“ des Merkur bezeichnet. Auch hier konnte Einstein mit seinen Gleichungen die richtigen Daten liefern. Des Weiteren berechnete er die relativistische Rotverschiebung, sowie die Ablenkung von Licht, das die gekrümmte Raum-Zeit Umgebung der Sonne durchläuft. Die Lichtstrahlen, welche die Sonne streifen, werden nach der Allgemeinen Relativitätstheorie um 1,7 Bogensekunden abgelenkt, was etwa einem Viertausendstel des Winkels entspricht unter dem man die Sonne von der Erde aus sieht.

Als der englische Wissenschaftler Arthur Eddington aus Publikationen von der Allgemeinen Relativitätstheorie Kenntnis erhielt, war er so beeindruckt, dass er gemeinsam mit dem Astronomen Frank Dyson eine „Sonnenfinsternis-Expedition“ plante, um die vorausgesagte Ablenkung des Lichts im Schwerefeld der Sonne zu testen. Im Jahre 1919 waren zwei wissenschaftliche Expeditionen unterwegs nach Südamerika und nach Afrika, um unabhängig voneinander entsprechende Teleskopaufnahmen von der Sonne und benachbarten Sternen während der ein paar Minuten dauernden Finsternis zu machen. Bei den Auswertungen der Messdaten stellten sich tatsächlich Verschiebungen heraus, welche die Vorhersagen der Einstein Theorien bestätigten. Auch der Vergleich der Messwerte beider Expeditionen waren positiv. Bei einer großen Sitzung der Royal Astronomical Society wurden die Ergebnisse verkündet, welche die Einstein Theorie bestätigte. Die Medien berichteten über dieses historische Ereignis und Einstein wurde über Nacht berühmt.

Bereits vier Jahre davor, im November 1915, war die Allgemeine Relativitätstheorie fertiggestellt gewesen. 1916 beschrieb Einstein in einer populärwissenschaftlichen Darstellung seine beiden Theorien, ohne ein besonderes Echo hervorzurufen. Obwohl experimentelle Bestätigungen noch fehlten, war Einstein intuitiv von der Richtigkeit seiner Überlegungen überzeugt. Typisch für ihn, bezog er seine Zuversicht mehr aus der profunden Einfachheit und Schönheit seiner Theorie, als aus irgendetwas anderem. Er drückte dies wie folgt aus: „Dem Zauber dieser Theorie wird sich wohl kaum jemand entziehen können, der sie wirklich erfasst hat“.

Die Allgemeine Relativitätstheorie hat sich seit ihrem Bestehen in allen experimentellen Tests bewährt. Sie ist ein Meisterwerk, vor allem in ihrer Denkökonomie und in ihrer prinzipiellen Einfachheit, obwohl ihr komplizierte Details zugrunde liegen.

Einstein, das Genie

Was bewirkt die Gravitation? Was lenkt einen Mond auf seiner Bahn um die Erde? Was hält die Planeten im Umkreis der Sonne? Es ist keine fern wirkende Kraft, sondern etwas viel Grundlegenderes: Die Struktur von Raum und Zeit selbst, die- einzeln unfassbar- zusammen eine alles bestimmende Einheit bilden: Die vierdimensionale, gekrümmte Raum-Zeit des gesamten Universums, welches in sich geschlossen erscheint, ohne eine Grenze zu haben. Eine weitere Erkenntnis der Theorie war, dass das Universum- entgegen der damaligen Ansicht Einsteins nicht statisch sein könne. Tatsächlich bestätigten die Untersuchungen von Hubble Jahre später, dass das Universum sich eindeutig in einer Expansionsbewegung befindet. Einstein, der mit dem Einbau einer „Konstanten“ in seine Gleichungen diese Konsequenz aus seiner Theorie herauszuhalten versucht hatte, musste diesen künstlichen Einschub nach den Erkenntnissen von Hubble wieder entfernen. Die Aussage hatte, entgegen jeder damaligen Erwartung, gestimmt.

Die Art und Weise, wie Einstein die abstrakten Größen von Raum und Zeit in quantitativen Gleichungen fasste, ist im wissenschaftlichen Zeitalter einmalig. Hinter seinen Gleichungen verbergen sich kühne Vorstellungen von der Welt im Ganzen, die die Grenzen der Logik überschreiten. Denn für unsere Sinne erscheinen Zeit und Raum nicht wirklich spürbar, obwohl sie die eigentliche Substanz unserer Existenz darstellen. Die Welt wäre ohne Zeit und Raum unvorstellbar, doch macht man sich normalerweise keine gesonderten Gedanken darüber, weil die beiden Phänomene uns so vertraut sind. Letztlich liefert uns die Relativitätstheorie die Erkenntnis, dass die Ordnung der realen Welt doch nicht vollkommen übereinstimmt mit der Ordnung unserer Denkstrukturen.

Wenn man aber wie Einstein, eine grundlegende Änderung an diesem Denkschema vornimmt, dann löst dies eine wissenschaftlich-philosophische Revolution aus. Das hat Einstein mit seiner Theorie getan und darum ist er so berühmt geworden.

Damit hat Einstein den Erkenntnishorizont der Menschheit um ein kleines Stück erweitert. Aber vieles von der Wirklichkeit dieser Welt liegt für uns Menschen weiter im Dunkeln.

 

Literatur:  Hoffman Banesh,  Einsteins Ideen: Das Relativitäsprinzip und seine historischen Wurzeln, Spektrum Verlag, 1997

Abbildungen: Screeshots Youtube

 

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4 Kommentare zu “Relativitätstheorie (3) – ein neues Bild der Gravitation

  1. Axel fragt: Wofür lassen sie alles stehen und liegen? Ich antworte: Für Teil 3 zu den Reltivitätstheorien von Helmut! Und die Antwort wäre auch: Für Teil 2 von Axels Meinung zu Hawking!

    Als Philosoph beschäftigt mich ähnlich wie zum Thema Quantentheorie: Was für ein Hokuspokus ist das eigentlich, was hier als „reale“ Physik aufgetrumpft wird. Der Ausdruck soll nur deutlich machen, dass ich es noch immer kaum in meine Vernunft bringe, dass man sich mal eben eine einen Raum denken soll, welcher gekrümmt ist. Ich glaube es ja, aber will es die Physik nicht „wissen“? Wie schafft man den Sprung, das nicht als seltsame Metaphysik zu sehen, sondern als streng wissenschaftliche Wahrheit? Nur, weil die Mathematik zu den Beobachtungen passt?

    Ihr wisst, ich versuchte es schriftstellerisch meinem 12-jährigen Sohn zu vermitteln. Ein Kind schafft es, dann die Stirn zu runzeln und sich zu fragen, ob der Vater noch ganz bei Trost ist! Und ich komme ins Schwimmen: Einfach sagen, das verstehst du halt noch nicht. Oder an sich selbst zweifeln, dass man es nicht so erklären kann, dass es jeder verstehen kann?

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    • Christian, ich denke, Du hast die entscheidende Frage dazu gestellt: „Nur, weil die Mathematik zu den Beobachtungen passt?“.
      Viele Naturwissenschaftler werden hier mit einem schlichten „Genau!“ antworten und der Fall ist für sie erledigt. Ganz besonders die empirieverliebten Angelsachsen. Irgendwie ist es ja eine Antwort, aber gleichzeitig eben auch eine neue Frage: Wie kann es sein, dass die Mathematik immer wieder so frappierend zu den Beobachtungen passt?
      Dass wir uns mit der Antwort nicht zufrieden geben, ist wohl auch auf eine bestimmte Art sehr deutsch. Nirgendwo hat schließlich die Romantik so geblüht, wie bei uns. Wir sind weniger bereit als andere, geistige Welten, zu denen ja auch die Mathematik gehört, einfach als gegeben hinzunehmen. Wir glauben immer, dass es dahinter noch etwas zu entdecken gibt. Das meine ich durchaus selbstbewusst und nicht in erster Linie selbstkritisch.

      Mein Sohn ist erst 5. Gut, dass Du die Antworten für Deinen Aufschreibst. Dann ich vielleicht in ein paar Jährchen darauf zurückgreifen!
      Und es freut mich, dass Du nach dem zweiten Teil von Hawking Bluff fragst. Ich trage ihn seit Wochen mit mir herum und komme nicht dazu, ihn aufzuschreiben. Aber Deine Frage soll mir Ansporn sein, dass es vor Ostern noch hinbekomme.

      Liken

      • Das Verhältnis der Mathematik zur Wirklichkeit könnte schwieriger sein, als es der Einstein-Fan denken mag, welcher wie ich auftrumpft: Der Raum ist gekrümmt und hat nach Einstein sozusagen physikalische Eigenschaften. 

        Ich erinnere an Newton, welcher auch eine erfolgreiche Mathematik hatte, aber eingestand, dass die Mathematik nicht die Gravitation erklären kann, denn das verlangt, eine Fernwirkung philosophisch zuzulassen: 

        „[…] daß die Gravitation eine natürliche, inhärente und wesentliche Eigenschaft der Materie sei, so daß ein Körper aus der Ferne durch ein Vakuum hindurch, ohne Vermittlung irgend eines Etwas, durch welches seine Thätigkeit und Kraft fortgepflanzt würde, auf einen anderen Körper einwirken könne, ist für mich eine große Absurdität, daß ich glaube, niemand, der in philosophischen Dingen eine ausreichende Denkfähigkeit besitzt, kann jemals darauf verfallen.“

        Ohne wie Faust zu der Mystik Zuflucht zu suchen, habe ich für mich erkannt, dass es sich trotz totgesagtem Äther (und totgesagter Philosophie) lohnt, sich mit diesen Überlegungen zu beschäftigen. Denn hier darf der Raum ein Medium, eine Substanz, eine Materie sein. Einstein selbst spricht ja von einem „Materietensor“ und die einheitlichen Feldtheorien beschäftigen sich damit, einem „Kontinuum“ / „Feldern“ durch geometrische Strukturen zu einer materiellen Existenz zu verhelfen.

        https://cbuphilblog.wordpress.com/2019/01/26/c-f-v-weizsaecker-zum-problem-einer-einheitliche-feldtheorie/

        Diesem Gedankenweg Einsteins folge ich und lande dabei weit zurück bis zu Anaximenes und dem Prinzip Luft, weil hier der Lösungsansatz war, durch Verdichtung und Verdünnung Seiendes zu gestalten. Das Wort Apeiron des Anaximander übersetze ich mit „Kontinuum“, weil es dasjenige sein kann, was ohne Grenze von einem Seienden in ein anderes Seiendes übergeht.

        Hier ein kleines Beispiel, wie die Argumentation dann aussehen kann: 

        https://cbuphilblog.wordpress.com/2019/02/15/albert-einstein-anaximenes/

        Liken

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